设$X$是实直线的子集合，并设$Y$是集合，使得$X\subseteq Y\subseteq \overline{X}$,证明$\overline{Y}=\overline{X}$.

证明:因为$X\subseteq Y$,根据引理9.1.11，可知

\begin{align*}

  \overline{X}\subseteq \overline{Y}

\end{align*}

又因为$Y\subseteq \overline{X}$,可知

\begin{align*}

  \overline{Y}\subseteq \overline{\overline{X}}

\end{align*}

根据易得$\overline{\overline{X}}=\overline{X}$,因此$\overline{Y}\subseteq \overline{X}$.综上$\overline{Y}=\overline{X}$.